Curiosidades sobre Números Complexos

Banda "i"
Banda "i"era uma banda formada apenas por matemáticos, e eles tinham uma música chamada “i”. Obviamente a banda ficava cinco minutos em silêncio quando tocava “i”.

Não entendeu? Eu explico!

“i" é um termo matemático usado nos números complexos. O “i” representa a raiz quadrada de -1. No entanto, não existe um resultado para a raiz quadrada de -1, por isso, uma música com o nome “i” também não existe. Genial!

Piadas!

 

Exercicios Números Complexos

Questões:

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.



Resolução:

01. C	02. C	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

 09. 3 - 2i; -3 + 2i
10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Indo além da Geometria!

Numeros Complexos

A origem do i ao quadrado igual a -1
No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i² = – 1.

A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i² = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.

Primeiro, faremos algumas definições.

1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.
2. Os números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = y₂.
3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ ,  y₁ + y₂)

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ – y₁*y₂ ,  x₁*y₂ + y₁*x₂)

Exemplo 1. Considere z₁ = (3, 4) e z₂ = (2, 5), calcule z₁ + z₂ e z₁*z₂.
Solução:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁*z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)

Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)
(x₁ , 0)*(x₂, 0) = (x₁*x₂, 0)

Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.

Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.

Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.

Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal.

a) (5, – 3) = 5 – 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i

Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2.
Sabemos que i = (0, 1) e que i² = i*i. Segue que:
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Utilizando a definição 3, teremos:
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)

Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim,
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1.
Chegamos à famosa igualdade i² = – 1.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Exercicios sobre Esfera

24) Para uma esfera de raio igual a 200cm, calcule a área da superfície, o volume da esfera, o volume da cunha esférica que corresponde a um ângulo de 30º e a área do fuso esférico com ângulo de 60º.

25) Uma esfera de raio R é seccionada a 60cm do centro e o raio da secção é 80cm. Calcule a área da superfície e o volume dessa esfera.

26) Um cubo de aresta 120cm está circunscrito a uma esfera completamente cheia de água. Calcule:
a) a área da superfície da esfera          b) o volume da esfera         c)  o númer de litros de água que a esfera contém. Use π = 3

27) Se o volume de um cubo que se encontra inscrito em uma esfera é 1000 cm³, calcule o o volume da esfera, em cm³ e em ml.

28) Sabendo que a área da superfície de uma esfera é 400π m², calcule o volume desta esfera e o volume de um cilindro de 8 m de altura que tem o mesmo raio.

29) Sabendo que o volume de uma esfera é 256π m², calcule a área de sua superfície e a área e volume de um cilindro equilátero que possui o mesmo raio desta esfera.

Estudo da Esfera.

Definição de uma esferaUma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R. Eis uma ilustração:

*Volume:
O volume da esfera de raio R é dado por:

*Partes da esfera

Superfície esférica :

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

* Zona esférica:

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

A área da zona esférica é dada por:

* Calota esférica :

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Ä área da calota esférica é dada por:

* Fuso esférico :

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

* Cunha esférica :

Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.

Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos:

Ø Pólos

Ø Equador

Ø Paralelo

Ø Meridiano

 

Posição relativa entre plano e esfera

Plano secante à esfera :

O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais.

Plano tangente à esfera :

O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.

Plano externo à esfera :

O plano e a esfera não possuem pontos em comum.

esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.